一(yī)、概率與統計(jì)
1、概率；這(zhè)裡(lǐ)用(yòng)道(dào)題來(lái)×♣≤<說(shuō)明(míng)這(zhè)個↓÷'₹(gè)數(shù)學問(wèn)題（用(yòng)WORD把這(zhè)些(xiē)煩瑣Ω♦™的(de)公式打出來(lái)太麻煩了(le)，因為(wèi)公司&βφ不(bù)重視(shì)品質管理(lǐ)，₹$↓α所以部門(mén)連個(gè)文(wén)•✘÷γ員(yuán)MM都(dōu)沒有(yǒu)，最後我隻好(hǎo)使✔±↕用(yòng)CORELDRAW做(zuò)的(de)公式粘貼過來(lái)，如(<<φrú)果你(nǐ)的(de)電(diàn)腦(nǎo)系統比較慢(màn)，需要(yλ×ào)耐心等待一(yī)會(huì)公式才會(huì)顯示來(lái)，不(bù)過别著(z± ™σhe)急，好(hǎo)東(dōng)西(xī®™β)往往是(shì)最後才出來(lái)的(de)嘛！）。
題一(yī)、從(cóng)含有(yǒu)D個(gè)不δ★≠(bù)良品的(de)N個(gè)産品中随機(jī)取出n個(₹™φ₽gè)産品（做(zuò)不(bù)放(f π<àng)回抽樣），求取出d個(gè)不(©Ω bù)良品的(de)概率是(shì)多(duō)γ↔€★少(shǎo)？
解：典型的(de)超幾何分(fēn)布例題，計(jì)算(suànγβ)公式如(rú)下(xià)（不(bù)要(yào)煩人★™(rén)的(de)問(wèn)我為(wèi)什(shén)₽$麽是(shì)這(zhè)樣的(de)公式₽×φ計(jì)算(suàn)，我雖然理(lǐ)解了(le)一(yī)些(xiē)₹'，解釋起來(lái)非常麻煩，别怪我不(bù)夠意思，是(shì)你∞<±(nǐ)自(zì)己上(shàng)學的(de)時(shí)候隻顧早戀，沒有(yǒu)學習π"(xí)造成的(de)，罵自(zì)己吧(↕↑ba)！）：
超幾何分(fēn)布：（最基本的(de)了(le)）：
最精确的(de)計(jì)算(suàn)，适用(yòng)比較小(xi≥★↔ǎo)的(de)數(shù)據
其中： N —— 産品批量 D —— N中的(de)不(b♠®∞ù)合格數(shù)
d —— n中的(de)合格數(shù) ©'n —— 抽樣數(shù)
另外(wài)的(de)概率計(jì)算(suàn)的γ₩(de)常用(yòng)算(suàn)法還(hái)有(yǒu)：
二項分(fēn)布：（最常用(yòng)的(de)了(le)，是(≥ ₽shì)超幾何分(fēn)布的(de)極限形式。用(yòng)于具備計(jì↕®♠)件(jiàn)值特征的(de)質量分(fēn)布研究）：
隻是(shì)估算(suàn)，當N≥10n後才比較準确
其中： n —— 樣本大(dà)小(xiǎo) d —— n中的₩ π(de)不(bù)合格數(shù)
ρ—— 産品不(bù)合格率
泊松分(fēn)布：（電(diàn)子(zǐ)産品的(deφ∏)使用(yòng)還(hái)沒有(yǒu)使用(yòng)過，隻是(s★→≤±hì)在學習(xí)的(de)時(shí)候玩(wá÷π©♣n)過一(yī)些(xiē)題目，我也(yě)←>$↕使用(yòng)沒有(yǒu)經驗）
具有(yǒu)計(jì)點計(jì)算(suàn)特≈☆征的(de)質量特性值
其中： λ—— n ρ n —— 樣本的(de>↑)大(dà)小(xiǎo)
ρ—— 單位不(bù)合格率(缺陷率) ♣β;e = 2.718281
2、分(fēn)布；各種随機(jī)情況，常見(jiàn)的(de)★分(fēn)布有(yǒu)：二項分(fēn)布、正态分(fēn)布、泊松分(fēn)布等，分(≥≥fēn)位數(shù)的(de)意義和(hé)用(yòng)法也(yě)需要(y ào)掌握；較典型的(de)題目為(wèi↑₩→)：
題三、要(yào)求電(diàn)阻器(qì)的(de)值為(wèi)80+/-4歐姆；從&π₩(cóng)某次生(shēng)産中随機(jī)抽樣發現(xiàn)：電(diàn)阻器(qì)¶↓的(de)阻值服從(cóng)正态分(fēn)布，其均值80.8歐姆、标準差1.3歐姆，求此次•¶∞生(shēng)産中不(bù)合格品率。
公式好(hǎo)麻煩的(de)，而且還(hái)要(yào)查表計(jì)算(suàn®♥)，555555555555，我懶得(de)寫了(le)，反正©±π我也(yě)沒有(yǒu)做(zuò)過電(≤≤δdiàn)阻。
3、置信區(qū)間(jiān)：我們根據取得(de)樣品的(de)參數(sh∏★&©ù)計(jì)算(suàn)出産品相(xiàng)應的(de)參數(shù)，這(zhè)>₹✔δ個(gè)“計(jì)算(suàn)值”到(dào)底跟産品的(de)“真實值”♣>有(yǒu)什(shén)麽關系？一(yī)般這(zhè)樣去(qù)Ωπ$描述這(zhè)兩個(gè)量：把“計(jì)算(÷♠suàn)值”擴充成“計(jì)算(suàn)區(qū)間(jiān)”、然後描述“真實值有(∏✔∑yǒu)多(duō)大(dà)的(de)可(kě)能(néng)會(huì)落¶$在這(zhè)個(gè)計(jì)算(suàn)區(qū)間(jiān∑↑)裡(lǐ)”，從(cóng)統計(jì)學上(shàng)看(kàn)，就(j€'←≈iù)是(shì)“估計(jì)參數(shù)”的(de)“置信區(qū)間(jiān)”；€φ<較典型的(de)題目為(wèi)：
題四、設某物(wù)理(lǐ)量服從(c♣ ÷óng)正态分(fēn)布，從(cóng)中取出四個(gè)量，測量/計(♣©jì)算(suàn)後求得(de)四個(gè)量的(de)平均值為(wèi)8.3©÷4，四個(gè)量的(de)标準差為(wèi)0.03；求平均值在95%的(de)∏₹∏₹置信區(qū)間(jiān)。
解：因為(wèi)隻知(zhī)道(dào)此物(wù)理(lǐ)量服從(cóng)正态分(¶"fēn)布，不(bù)知(zhī)道(dào)這(zhè)個(gè)正态分(fēn)布對(duì)≠♣應的(de)标準差，所以隻能(néng)用<γφ(yòng)樣品的(de)标準差來(lái)代替原物(wù)理(lǐ)≠ ™量的(de)标準差。這(zhè)時(shí±↕)，樣品的(de)平均值的(de)分(fēn)布就÷ ←✔(jiù)服從(cóng)t分(fēn)布。4個(gè)樣品、95%的(de)置信區(<δqū)間(jiān)，對(duì)應的(de)t0.975(3)＝3 φ≈.182；所以平均值的(de)置信區(qū)間(jiān)為(wèi)：
8.34±3.182×（0.03/2）=[8.292®•★,8.388]
這(zhè)說(shuō)明(míng)，此物(wù)理(lǐ)量的(de)總體( ♥™tǐ)平均值有(yǒu)95%的(de)可(kě)能(≥£néng)落在8.292和(hé)8.38& 8之間(jiān)。
二、可(kě)靠性常用(yòng)的(de)分(fēn)布
1、指數(shù)分(fēn)布；第一(yī)章(zhāng)裡(lǐ•δ≠)提到(dào)浴盒曲線對(duì)應的(de)指數(s$hù)分(fēn)布為(wèi)F(t)＝1-e-t；如(rú)何得(★β✘de)到(dào)這(zhè)一(yī)分(fēn)布∏☆♦？
設産品在t時(shí)間(jiān)內(nèi)總的(de)失效率F(t)，則：
在t時(shí)刻産品的(de)存活率R(t)=1-F(t)；
在t時(shí)刻的(de)失效為(wèi)t時(shí)間(jiān)內(nèi)的(de) ©≤♦失效率的(de)導數(shù)、即f(t)=F’(t)；
在t時(shí)刻的(de)失效率為(wèi)t時(shí÷π)刻的(de)失效比t時(shí)刻的(de)存活率、即f(t)/R(¶™₽t)。
根據浴盆曲線，當産品在穩定失效階段時(shí)任意時(shí)刻的(de)失效'¥率為(wèi)λ。
綜上(shàng)，即得(de)到(dào)等式：λ＝f(t)/R(₽₽♠↔t)=F’(t)/(1-F(t))；
解此微(wēi)分(fēn)方程得(de)到(dào)一(yī)個(gè)特解：F(t)＝1－↓σβ'e-t；
所以R(t)=e-t，這(zhè)就(jiù)是(shì)指數(shù♠↕)分(fēn)布；
2、威布爾分(fēn)布；與指數(shù)分(fēn)布相(xià₹→÷ng)比，隻是(shì)變量λ不(bù)一(yī)樣。威布爾分(fēn)布的(de)F(t<♥₽)=1-e^(-t/a)^b；當b＝1時(shí)，F₩₹→δ(t)=1-e^(-t/a)，這(zhè)也(yě)就(jiù)是(shì¥↓γ)指數(shù)分(fēn)布；我們威布爾分(fēn)布來(lái)看(kàn)看(kàn)其¥€₩它參數(shù)：
R(t)＝1-F(t)=e^(-t/a)^b；€₩
f(t)＝F`(t)=(b/t)*(t/a)^b*e^(-t/a)^b；
失效率＝f(t)/R(t)＝(b/t)*(t☆®≈λ/a)^b；
3、對(duì)數(shù)正态分(fēn)布α☆；顧名思義，說(shuō)明(míng)産品在t時(shí)間(j♥$↕iān)內(nèi)的(de)失效率與t服從(cóng)對(duì)數(γ≤shù)正态分(fēn)布，也(yě)就(jiù)是(shα♦βì)說(shuō)F(t)與ln(t)成正态分(fēn)布。标準表達式為(wèi)：F(t)='≠Φ((lnt-ln(T50))/δ)；
根據各種分(fēn)布，都(dōu)可(kě)以方便地(dì)求出産品MTBF。
要(yào)求出産品的(de)MTBF就(jiù)必須找到(dào)樣品的(d↓δe)失效時(shí)間(jiān)，這(zhè)樣我們必須取出一(y≤ πī)定的(de)樣品做(zuò)特定的(de)測試、記錄樣品的(de→<)失效時(shí)間(jiān)，然後計(jì)算(suàn)産品的(de)MTBF。在開(kāi♠¥)始計(jì)算(suàn)MTBF之前，我∑•←✘們先插述各種測試的(de)篩選強度，也(yě)就(jiù ☆₩∏)是(shì)此種測試能(néng)發現(xiàn)樣品存在缺陷的(↑≈✔de)可(kě)能(néng)性。
三、篩選強度
在進行(xíng)環境應力篩選設計(jì)時(shí >λ☆)，要(yào)對(duì)所設計(jìβ↕)的(de)方案進行(xíng)強度計(♥♠♦jì)算(suàn)。這(zhè)樣才能(néng)更有(yǒu)效的(de)析出産品缺↔>™₩陷。在典型篩選應力選擇時(shí)，一(yī)般恒定高(gāo)溫篩選用(yòng)于元器(qì)∞™件(jiàn)級，溫度循環用(yòng)于闆級以上(shàng)産品；溫度循環→→的(de)篩選強度明(míng)顯高(gāo)αλ于恒定高(gāo)溫篩選。下(xià)面介紹一(yī×)些(xiē)篩選強度（SS）的(de)數(shù)學模型。
1、恒定高(gāo)溫篩選強度
SS=1-exp [-0.0017(R+0.6)0.6t]
式中：R—高(gāo)溫與室溫(一(yī)般取25℃)的(de)差值；t—恒定高(gāo)>≤溫持續時(shí)間(jiān)(h)；例：用(yòng)85℃對(duì)某一(yī)元器(→∞✘σqì)件(jiàn)進行(xíng)48H的(de)篩選，則其篩選強度為 $(wèi):44.5% =1- EXP(-0.0017*((≥↓85+0.6)^0.6)*48)；
2、溫度循環的(de)篩選強度
SS=1-exp{-0.0017(R+0.6)0.6[Ln(e+v)]3N}÷∏≥
式中：R—溫度循環的(de)變化(huà)範圍（℃）；V—溫變率（℃/min）；Nπβ£₽—溫度循環次數(shù)；例：用(yòng)60℃到(d ♣ào)－40℃以10℃/min的(de)速率做(zuò)15次循環（每個(gè)循環2 >ε0min，15個(gè)共計(jì)5H）則對(duì)應的(de)篩選強度為(wè∏♠≠≠i)：99.87%=1-EXP(-0.0017*((100+0.6)^0.6)*((ln(βλ→2.718+10))^3)*15)；
3、随機(jī)振動的(de)篩選強度
SS=1-exp{-0.0046(Grms)1.71·t}
式中：t—為(wèi)振動時(shí)間(jiān)（min）；Grms---單位G； φγ（這(zhè)個(gè)地(dì)方我也(yě)®☆φ沒有(yǒu)找到(dào)資料）。
四、MTBF的(de)計(jì)算(suàn)
1、基本MTBF的(de)測試
在實際工(gōng)作(zuò)過程中，很(hěn)多(duō)時(shí)候并不(b↕©ù)需要(yào)精确在知(zhī)道(dào)某個(gè)産品的(de)MTBF，隻需要↕♦∏(yào)知(zhī)道(dào)是(shì)否可(kě)以接受此産品。這(zhè)時(★✘shí)，隻需要(yào)對(duì)産π&€品進行(xíng)摸拟運行(xíng)測試，當産品通(tōng)過了(le)測試時(s≈λ>hí)，就(jiù)認為(wèi)産品達>∏到(dào)了(le)要(yào)求的(de)MTBF，可(<↑₽kě)以接受此産品。
如(rú)何确定産品應該進行(xíng)什(shén)麽樣的(de)測試，也(λ☆• yě)就(jiù)是(shì)我們應該用(yòng)多(duō)少(shǎo)樣品進行(÷₹xíng)多(duō)長(cháng)時(shí)間(jiān)的(de)測試？根據M☆φ¶✘TBF（平均失效間(jiān)隔時(shí)間(jiān)≤↑δ）的(de)定義，從(cóng)“平均”這(zhè)一(yī)個(gè)看(kàn)來(lái)，↔✘π'失效的(de)次數(shù)越多(duō)計(jì)算(su∑•πàn)值就(jiù)越能(néng)代表“平均值”"ε，當然失效的(de)次數(shù)越多(duō)對(duì)應的(de)總測試時(shí)間®♦÷>(jiān)也(yě)就(jiù)越長(cháng)；一(yī)'般情況下(xià)要(yào)求：隻要(yào)測׶®試時(shí)間(jiān)允許，失效的(de'✘)次數(shù)就(jiù)應該取到(dào)盡可(kě)能(néng)地(dì)多(duō)。
下(xià)面用(yòng)一(yī)個(gè)例子(zǐ)來(lái)說(shuō)明₩(míng)測試條件(jiàn)的(de)确定方法。
題五：某種産品，要(yào)求在90%的(de)信心度下(xià)MTBF為(wσ∏¶γèi)2000H，如(rú)何判定此産品的(de)可(kě)靠性是(shì)®±否達到(dào)了(le)規定的(de)要¶β(yào)求？
可(kě)以轉化(huà)為(wèi)判定此産品是(shì)否能(néng)通(↑→↓tōng)過規定時(shí)間(jiān)的(de)模拟運行(xíng)測試，其關鍵是(sh×"↑ì)要(yào)找出測試時(shí)間(jiā'♣←n)；測試時(shí)間(jiān)＝A×MTBF，A這(zhè)個(gε®∏è)因子(zǐ)與“在這(zhè)段時(shí)間(jiān)內(nèi)允許失≥∏€€效的(de)次數(shù)”和(hé)“90%的(de)信心度”有(yǒu)關系。β✘根據已經成熟的(de)體(tǐ)系，直接代用(yòng)公式：
A＝0.5*X2（1-a，2(r+1)）
X2（1-a，2(r+1)）是(shì)自(zì)由度為(wèi↔↓)2(r+1)的(de)X平方分(fēn)布的(de)1-a的(de)分(fēn)位數π∑(shù)；
a 是(shì)要(yào)求的(de)信心度，為(wèi)90%；&→<nbsp;r 是(shì)允許的(de)失效數(≈↕&₩shù)，由你(nǐ)自(zì)己決定；
此分(fēn)布值可(kě)以通(tōng)過EXCEL來(lái)計(jì)算(suàn)，在E↕©XCEL中對(duì)應的(de)函數(s∞↓hù)為(wèi)CHIINV；
如(rú)允許失效1次時(shí)，A=0.5*CHIINV ¶↓σ(1-0.9,2*2)=0.5*CHIINV(0.1,4)＝0.5*7.78＝3.89；所以應該♠•♥≥測試的(de)時(shí)間(jiān)為(wèi)₩☆：3.89×2000＝7780H。也(yě)就(jiù)是•✘(shì)當設備運行(xíng)7780H是(shì)隻出現(xiàn)✘≤一(yī)次失效就(jiù)認為(wèi)此産品達到(dào)了(le)要™♦∞(yào)求的(de)可(kě)靠性。
7780H是(shì)324天（7780/24＝324），快(kuài)一(yī)年☆♥(nián)了(le)，做(zuò)一(yī)次測₩©£€試花(huā)一(yī)年(nián)的(de)時(shí)間(jiān)？太長(chángδσ±)！我們可(kě)用(yòng)這(zhè)φ•β樣去(qù)調整：①增加測試的(de)總δΩ樣品數(shù)；7780從(cóng)統計(jì)上(shàng)看(kàn)，準确地(← α♠dì)說(shuō)是(shì)7780台時(shí)、它是±β(shì)“機(jī)台×時(shí)間(jiān)”這(zhè)樣一(yī♥↑)個(gè)量，也(yě)就(jiù)是(shì)所有(yǒu)樣機(☆Ωjī)的(de)測試時(shí)間(jiān)總和(hé)；如(rú)果測試中有(yǒu)50台樣"©≈機(jī)，則隻需要(yào)測試155.6H；如(rú)果有(yǒu)100台α₹樣機(jī)，則隻需要(yào)測試到(✘¶™★dào)77.8H（強烈建議(yì)在MTBF的(de)測試中采用(yòng)盡可(kě)能(≈¶↑♣néng)多(duō)的(de)樣品數(shù)）；₩β×②減少(shǎo)允許失效的(de)次數(shù)；允許失效的(de)↓↓≈©次數(shù)為(wèi)0時(shí)，同上(shàng)計(jì)✘♦λ←算(suàn)後得(de)到(dào)測試時(₽ ♥shí)間(jiān)為(wèi)4605台時(σ×™'shí)（一(yī)般不(bù)建議(yì)采用(yòng)此種方式來(lái)縮βε >短(duǎn)測試時(shí)間(jiān)，這(zhè)樣會(huì)增大(dà↔₹> )測試的(de)誤差率）。
對(duì)于價格較低(dī)、數(shù≤↑₹₩)量較多(duō)的(de)産品（如(rú)各種元器(™®₩↑qì)件(jiàn)、各種家(jiā)用(yòng)₩α✘電(diàn)器(qì)等），用(yònπ♠Ωg)上(shàng)面介紹的(de)方法，可(kě)以很(hěn)方便地(dì)進行(γxíng)測試；但(dàn)當産品的(de)價格™ 較高(gāo)、MTBF較高(gāo)的(♦•de)産品如(rú)何測試？
題六：某種産品，要(yào)求在90%的(de)信心度下(xià)MTBF為(×>wèi)20000H，因單價較貴，隻能(néng)提供10台左右的(de)産品做(zuò)測←↕試，請(qǐng)問(wèn)如(rú)何判定此産品的(d&$e)可(kě)靠性是(shì)否達到(dào)規定的(de)要(yà♥≠o)求？
還(hái)是(shì)轉化(huà)為(wèi)測試。即使有(yǒu)10台産品全部用™Ωγ(yòng)于測試，20000H的(de)MTBF也(yě↔")需要(yào)測2000H左右，這(zhè)個(gè)時(shí)間(jiā✘¥$ n)太長(cháng)，應該怎麽辦？
此時(shí)一(yī)般用(yòng)↓×♥≈到(dào)加速測試。對(duì)一(yī)般電(diàn)子(zǐ)産品而言•÷ ，多(duō)用(yòng)高(gāo)熱(rè)加速，α♠¶有(yǒu)時(shí)也(yě)用(yòng)高(gāo)濕高(gāo)濕加速。根≤₹據加速模型（Arrhenius Model★γ¥），得(de)知(zhī)加速因子(zǐ)的(de)表達式為(≤←π♥wèi)：
AF=exp{(Ea/k)*[(1/Tu)-(1/Ts)]+ (RHu^n-RHs^n÷∑€>)}
Ea為(wèi)激活能(néng)（eV）,k為(wèi)λ↕™玻爾茲曼常數(shù)且k=8.6*10E-5eV/K。T為(wèi)絕對(duì)溫度£α、RH指相(xiàng)對(duì)濕度（單位％）、下(xià)标u指常态、下(xià)标$πs指加速狀态（如(rú)RHu^n指常态下(xià)相(xiàng)對(duì)濕度的(d→Ω★e)n次方），一(yī)般情況下(xià)n↔®γ取2。
Ea根據原材料的(de)不(bù)同，有(yǒu)不(bù)同的(d≤↑ e)取值，一(yī)般情況下(xià)：
氧化(huà)膜破壞 0.3Ev
離(lí)子(zǐ)性（SiO2中Na離(lí)子(zǐ)漂移） 1. ₩α0—1.4Ev
離(lí)子(zǐ)性（Si-SiO2界面的(de)慢(màn)陷阱）&nb™×πsp;1.0eV
由于電(diàn)遷移而斷線 0.6eV
鋁腐蝕 0.6—0.9eV
金(jīn)屬間(jiān)化(huà)Ωα₽合物(wù)生(shēng)長(cháng) 0.5—0.7eV
根據産品的(de)特性，取Ea為(wèi)0.6eV，則在75℃、8Ω"$5%RH下(xià)做(zuò)測試1h，相(xiàng)當于在室溫（25℃、75%→™¥RH）的(de)加速倍數(shù)為(w¥→×èi)：
AF＝EXP(0.6*((1/298)-(1/348))*10^5/8.6+(0.85^2-0∞.75^2))＝34
若充許一(yī)次失效，在90%的(de)置信度下(♦βxià)，需要(yào)測試的(de)時(shí)間(jiān)為(wèi)：Ttest=∏£₹A*MTBF ，A的(de)計(jì)算(suàn)同上(shàng)用(yòγ≈∞ng)EXCEL計(jì)算(suàn)，即：A=0.5*CHIINV(₩✔1-0.9,2*2)=0.5*CHIINV(0.1,4)＝0.5*7.78＝3.89；
所以要(yào)求的(de)室溫下(xià)的(de)$÷γ測試時(shí)間(jiān)為(wèi)：Tu=₹÷3.89*20000＝77800H；
換算(suàn)後，在高(gāo)溫下(xià)的(de)測試時(shí)間(jiān)為(wè§₽♦i)：Ta＝778000/AF＝2288Hrs；
最後，測試方案就(jiù)是(shì)：将10台設備在75℃、85%的(∏☆de)下(xià)進行(xíng)228.8Hrs的(de)δ↕←測試，如(rú)果失效次數(shù)小(xiǎo)于或等于一(yī)次，就(jiù"★<≈)認為(wèi)此産品的(de)MTBF達到(dào)了($♣★le)要(yào)求。
還(hái)有(yǒu)一(yī)種情況就(jiù)是≤♦™(shì)，不(bù)知(zhī)道(dào)Ea，公司內¶€(nèi)部以前沒有(yǒu)數(shù)據、行(xíng)業(yè♥§)也(yě)沒有(yǒu)推薦使用(yòng)的(de)具體(tǐ)值。此時(shí)就≤≥ ∑(jiù)隻能(néng)近(jìn)似估計(jì)。具體(tǐ)方法如(rú)下(x÷÷ià)：在三個(gè)高(gāo)溫（t1,t2,t3, <׶t1 實際工(gōng)作(zuò)中，沒有(yǒu)那(nà)麽樣品，隻能(né<≤ng)用(yòng)最少(shǎo)的(de)樣品數(shù)：9台（每個(gè)"₽£∏溫度下(xià)各三台）。具體(tǐ)做(zuò)法是(shì)：
a.取三台設備在高(gāo)溫T下(xià)運行(xíng€₩¥)，觀察産品的(de)失效情況。若産品較快(kuài)失效，則取t1＝T，t2＝t1－15℃，(✘↕₹✘1/t3)-(1/t1)＝2((1/t2)-(1/t1))；若産品長(cháng)時(¥"™"shí)間(jiān)沒有(yǒu)失效，∏♥♦則取t3＝T，t2=t3＋15℃，(1/t3)-(1/t1)＝2((1/÷→t2)-(1/t1))。
b．根據三個(gè)溫度點對(duì)應的(de)産品壽命∞§♣$時(shí)間(jiān)，計(jì)算(suàn)出λ'此産品的(de)Ea。
上(shàng)面的(de)方法對(duì)元器(qì)件(j§δλiàn)都(dōu)比較适用(yòng)，對(duì)一(yī)些(xiē)系統，可(kě$•)能(néng)就(jiù)不(bù)太合适了(le)。
2、基本MTBF的(de)計(jì)算(suàn)
因為(wèi)MTBF是(shì)一(yα♦↓ī)個(gè)統計(jì)值，通(tōng)過取樣、測試、計π•✔(jì)算(suàn)後得(de)到(dào)的(de)值∑♠φδ與真實值有(yǒu)一(yī)定的(de)差異；而且具體(tǐ)到(dào)每個(gè)©σ€産品時(shí)，其失效間(jiān)隔時(shí)間(jiān)與MTBF又(yòu)有(yǒu♥§ )一(yī)定的(de)差異，又(yòu)有(yǒu✘§±∏)置信度的(de)概念，這(zhè)樣您的(de)計(jì)算(suàn)值•±♣↓與客戶的(de)要(yào)求高(gāo)出一(yī)些(xiē)（如(rú)多(duō)出1♦✘ "個(gè)數(shù)量級），就(jiù)可(kě)以接受。如(rú)客戶要(yào)求産品的(σ♣©de)MTTF為(wèi)20年(nián)，我們計(jì)算(suà'Ω£&n)出來(lái)為(wèi)100年(nián)，是(shì)可<≤®(kě)以接受的(de)，如(rú)果計(jì)算(suànγ)出來(lái)剛好(hǎo)是(shì)20年(nián)，反而讓人(rén)覺得(de)♣ 是(shì)不(bù)是(shì)用(yòng)不(bù)到(dào)20年(✔δnián)。如(rú)何計(jì)算(suàn)産¥®品的(de)MTBF，這(zhè)裡(lǐ)給出兩個(gè)我用(yòng)到(<∏dào)的(de)方法。
一(yī)個(gè)日(rì)本客戶要(yào)求我們₹ £的(de)“光(guāng)隔離(lí)器(qì)”（一(yī)種用(yòng)在γγ光(guāng)路(lù)上(shàng™λ€✘)的(de)不(bù)可(kě)修複的(de)元器(qì)件(jiàn)，•φ←隻能(néng)讓光(guāng)順行(xíng)而不(bù)能(néng)ε↑逆行(xíng)，相(xiàng)當于電(diàβ<★δn)路(lù)上(shàng)的(de)二極管）的☆α©≠(de)産品壽命為(wèi)20年(nián)，我們進行(xíng)了(le)如(rú)下(x≥£βià)動作(zuò)。
第一(yī)步：找到(dào)計(jì)算(suàn)公式；我們使用(yòng)Bellcor♣↑e推薦的(de)計(jì)算(suàn)公式：MTBF＝Ttot×≤¶"/( N*r)；
說(shuō)明(míng)：N為(wèi)失效數(shù)（當沒有(yǒu)産品失效時(shí)♣φδ©N取1）；r為(wèi)對(duì)應的(de)系數(shù)（取值 φ與失效數(shù)與置信度有(yǒu)關）；
Ttot為(wèi)總運行(xíng)時(shí)間(jiān)；
第二步：找到(dào)可(kě)靠性測試的(de)數(shù)據；我們直接采用(yòng)我們' 做(zuò)過的(de)“高(gāo)溫高(gāo)濕貯存”的(<↑÷✘de)結果：11個(gè)樣品在85%RH、85℃≠↕≤下(xià)貯存2000Hrs時(shí)沒有(yǒu)失效發生(s∏₹←™hēng)；
第三步：找到(dào)對(duì)應的(de)激活能(néng)（Ea）；我們采用(yòng)B§↓§₩ellcore推薦的(de)Ea，為(wè≠←☆i)0.8eV；
第四步：計(jì)算(suàn)在溫室下€∑>(xià)的(de)運行(xíng)時(shí)間(jiān)；
①因為(wèi)沒有(yǒu)樣品失效，所以N＝β©←1；
②r取0.92（對(duì)應60%的(de)置信度）或2.∑♦30（對(duì)應90%的(de)置信度）×₩α；
③光(guāng)隔離(lí)器(qì)在室溫下(xi©δà)運行(xíng)，相(xiàng)當于40℃/85%的(de)貯存∏®₩；
④Ea為(wèi)0.8eV，計(jì)算(suàn)得(de)到↓©(dào)從(cóng)85℃/85%到(dào≥∞×)40℃/85%的(de)加速倍數(shù)為(wèi)42；
⑤60%的(de)置信度下(xià)，MTB€∏$'F＝Ttot/(N*r)＝（11*2000*42）/(1*0.92),結果即為(wèi)φ114年(nián)；
90%的(de)置信度下(xià)，MTBF＝Ttot/(N*r)＝（1✘••÷1*2000*41.6）/(1*2.30),結果即為(w≤σèi)45年(nián)；
從(cóng)上(shàng)面的(de)計(jì)算(suàn)可(kě)以看®$(kàn)出，此計(jì)算(suàn)用(yòng)到(dàoφβ®)了(le)兩個(gè)條件(jiàn)：進行(xíng)了(le)高(gāo)溫高(gāo)♦"₩σ濕測試、産品對(duì)應的(de)激活能(néng)取0.8，這(z÷λ≤hè)兩個(gè)條件(jiàn)在Bellcore裡(lǐ)、針對(duì)光(guān₽☆g)隔離(lí)器(qì)的(de)文(wén)件(jiàn)1221中有(yǒu)♣✘ 推薦使用(yòng)。很(hěn)多(duō)時(shí)候，因為(wèi)測試時(shí)間÷•÷(jiān)太長(cháng)（如(rú¥ ≥)1000H、5000H等）沒有(yǒu)進行(xíng)、激活能(néng)難以确←ε定用(yòng)多(duō)少(shǎo)才合适，所以不(bù)可(kě)直接計(jì)算£♣σφ(suàn)，需要(yào)進行(xíng)一(yī)些(xiē)相(xiàng)δ§關的(de)測試。
取9個(gè)樣品，分(fēn)三組，分(fēn)↔∑别在85℃、105℃、127℃下(xià)運行(xíng)，運行(xíng)過種中“在線監測φ↔&©”産品性能(néng)（雖然産品本身(shēn)有(yǒu)很(hěn)多≤>(duō)參數(shù)要(yào)測試，在我們的(de)測試中取±$$π最主要(yào)的(de)參數(shù)IL監測，≤☆光(guāng)通(tōng)信業(yè)認為☆×₩(wèi)當産品的(de)IL變化(huà)量超過0α<↕.5dB時(shí)就(jiù)認為(wèi)産品Fai♥λ€↕l）。實際測試中，産品在127℃下(xià)運行(xíng)很(hěn)快(kuài)Fail∏↔ ，當産品在105℃下(xià)運行(xíng)Fail，停止了(le)測☆£<試，各種數(shù)據如(rú)下(xià)表：
從(cóng)上(shàng)表可(kě)以看(kàn)出✔≈γ：
①在600H時(shí)，第二組樣品中2個(gè)出現(₩π≈xiàn)Fail，測試停止；
②在127℃時(shí)，産品的(de)壽命為(wε÷φ↓èi)400H，即（300＋500＋400）/ 3；
③在105℃時(shí)，産品的(de)壽命為(wèi)895.5H，即（8→γΩ↕00/0.4467）×0.5；
說(shuō)明(míng)：産品在105℃下(xià)800H時(shí)，并沒有'£★∏(yǒu)全部失效，不(bù)能(néng)像127℃₽≠ 那(nà)樣直接算(suàn)出，隻能(néng)用(yònε≤g)“線性外(wài)延”來(lái)計(jì)算(su¶¥£<àn)，雖然不(bù)是(shì)很(hěn)準 ↑<σ确，但(dàn)可(kě)以接受。因為(wèi)800H時(sh§↓"Ωí)變化(huà)0.4467dB，所以變化(huà)量達0.5dB時($☆✘★shí)總運行(xíng)895.5H；
④同理(lǐ)在85℃時(shí)，産品的(de)壽命為(wèi)3£♦←870.2H；
⑤将Arrhenius 公式兩邊取自(zì)然對(duì)數(shù)得(de)到(dào)：L₩¥♠↕n(Life)＝（Ea/k）*(1/T)；T溫度下(xià)βφ對(duì)應的(de)Life滿足上(shàng∑)述公式，把②③④三點中的(de)溫度和(hé)壽命，按（X,Y≠）的(de)形式，X =1/T、 Y =ln(life)，得(de)到(dào)相(xià≠≠ng)應的(de)三點（0.002793，8.26126）、（0.002646，6.797£✘407）、（0.002498、5.991465）；
⑥将第⑤步中的(de)三點在EXCEL中作(zuò)圖，将對(duì)應的(de≠π★←)曲線用(yòng)直線拟合、交顯示公式得(de)到(dào♥<)直線的(de)斜率為(wèi)7893.0；也(yě)就(jiù♣β)是(shì)(Ea/k)=7893.0，故Ea＝0.68eV；
⑦故産品在常溫25℃（對(duì)應的(de)1/T=0.003356）時(shí)壽命為§δ(wèi)：（105℃時(shí)的(de)壽命）×（105℃對(duì)2 '5℃的(de)加速倍數(shù)）；當(Ea±π/k)=7893.0時(shí)，105℃對(duì)25℃的(d ♥>±e)加速倍數(shù)為(wèi)272。
⑧故25℃時(shí)産品壽命為(wèi)272*895.>5/356/24＝27.8 （年(nián)）。
⑨故産品失效率為(wèi)10E9/(272*895.5)=4103 FIT.
上(shàng)面的(de)計(jì)算(suàn)過程有(yǒu) <'很(hěn)多(duō)地(dì)方可(kě)以討(tǎo)論：
①第一(yī)種方法有(yǒu)很(hěn)多(duō)優點：Ea↓ε>→的(de)取值是(shì)Bellcore推薦的(de)÷↔₩β值（目前整個(gè)業(yè)界都(dōu)不(bù)會(huì)疑問(wèn)）、≥→數(shù)據由11個(gè)樣品做(zuò)同一(yī)種測試得(de)到(dào)（比3個(g≠¶≥'è)樣品更有(yǒu)說(shuō)服力）、11個(gè)樣<✔•品沒有(yǒu)Fail（這(zhè)說(shuō)明(míng)實際值比計(jε♣"&ì)算(suàn)出來(lái)的(de)值還(hái)♦π ¶要(yào)大(dà)，更讓人(rén)信服）、考慮了(le)≤•↓φ置信度；
在第二種方法裡(lǐ)：
②樣品數(shù)據較少(shǎo)，每組隻有(yǒu)3個(✔÷±gè)樣品，随機(jī)性較大(dà)；
③中溫、低(dī)溫時(shí)産品沒有(yǒu)達到(dào)壽命時(shí)間(jiān)£÷"，以平均值“外(wài)延”代替，誤差較大(dà)；
④取到(dào)三個(gè)點時(shí)，用(y←"αòng)直線拟合，帶來(lái)很(hěn)多(duō)誤差；
⑤計(jì)算(suàn)25℃度時(shí)的(de)壽命÷ ≥σ，用(yòng)“85℃時(shí)的(de)壽命”與“加速倍數(shù)”相(xià®₩&ng)乘，而這(zhè)兩個(gè)參數(shù)都(dōu)有(yǒu)誤差；
但(dàn)是(shì)，在什(shén)麽都(dōu)沒有(yǒu)（以前的(dα¥λe)測試數(shù)據沒有(yǒu)、激活能(néng)用(yòng)多(duō)少(shǎo)也≥≤(yě)沒有(yǒu)）的(de)情況下(x→≤γ÷ià)，用(yòng)上(shàng)面的(de)計(jì)算(suàn)也(yě)算(suàn)¶÷≠♠是(shì)一(yī)種方法，可(kě)以用(yòng)來(lái)" ✔回複客戶，一(yī)般客戶都(dōu)不(δ₽≥€bù)會(huì)“較真”。
最後介紹另一(yī)種計(jì)算(suàn)方法。此方法是(shì)在常溫下(xià>φ)運行(xíng)産品，記錄每次故障發生(shēng)的(de)時(shí)©₹¶間(jiān)，然後套用(yòng)壽命模型、選擇最好(hǎo)的(de)一(yī)種來≤∑<(lái)計(jì)算(suàn)。（我沒有↕•(yǒu)用(yòng)過，隻好(hǎo)将書(shū₽ε)上(shàng)的(de)例子(zǐ)Co∏₹py下(xià)來(lái)）。
在常溫下(xià)，對(duì)100個(gè)産品做(zuò)測試，當出現©∞←§(xiàn)10次故障時(shí)停止測試。10次故障的(de)時(shí)間(ji±§$ān)為(wèi)：268、401、428、695、725、738、824、905、93©ε↔4、1006小(xiǎo)時(shí)。↑Ω♣求此産品的(de)MTBF。
第一(yī)步：求F(t)，即産品的(de)λ累積失效率（CDF）。這(zhè)裡(lǐ<♣)用(yòng)這(zhè)樣的(de)方法：
①第一(yī)次失效的(de)F(1)=(¶ε₩β1-0.3)/(100+0.4)＝0.006±↑✔972；
②第二次失效的(de)F(2)=(2-0.3)/(100+0.4)＝0.016932；
③第三次失效的(de)F(3)=(3-0.3)/(100+0.4$♦)＝0.026892；
其它類推（分(fēn)子(zǐ)為(wèi)♣≥♣ ：失效次數(shù)-0.3；分(fēn)母為(wèi)：樣品數(shù)+0.4σ©γ）。
第二步：求Ln(1/(1-F(t))，即第一(yī)步求得(de)的Ω (de)F(t)代入Ln(1/(1-F(t))計(jì)算♣☆→(suàn)出數(shù)據。如(rú)：
①第一(yī)次失效的(de)Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1≤≤-0.006972)＝0.006997；
②第二次失效的(de)Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.016932)＝0γ&×.017077；
③第三次失效的(de)Ln(1/(1-F(1))= Ln(1/(1-0.026892)± ＝0.027261；
其它類推；
第三步：套用(yòng)公式。不(bù)同産品有(yǒu)不(bù)同的(de)壽命分(fē©€≥ n)布模型，如(rú)正态分(fēn)布、威布爾分(fēn)布等←∏♥♦等。
1、套用(yòng)正态分(fēn)布；
①根據正态分(fēn)布公式1－F(t)＝EXPδ♣(-λt)，變換後得(de)到(dào)：Ln(1/(1-F(t))＝λt；
②将第二步中求出的(de)Ln(1/(1-F(t))作(zuò)為(wèi)y，将×₩每個(gè)故障發生(shēng)的(de)時(shγ♣∏í)間(jiān)t作(zuò)為(wèi)x，組成坐(zuò)标點(x,y)，如(rú₽♦)(0.006997,268)、(0.017077,401)、(0.027261,428'™≤✔)等，将10個(gè)點以EXCEL作(z®∑uò)圖；
2、套用(yòng)威布爾分(fēn)布；
①由威布爾公式1－F(t)＝EXP(-（t/m）^n)，變換後得(de)到(₩σγ→dào)：Log(ln(1/(1-F(t)))＝n*log∑π≤(t)-n*log(m)；
②将第二步中求出的(de)Ln(1/(1-F(t))作(zuò)♥π π為(wèi)Y，将每個(gè)故障發生(shē¶♥•ng)的(de)時(shí)間(jiān)t作(zuò)為(wèi)X，取y=logY, x=<↑✘logX,組成坐(zuò)标點(x,y)，将10個(gè)點以EXCEL作(zuò)圖；
3、套用(yòng)其它分(fēn)布；方法同上(shàng)，先找出←↓™對(duì)應的(de)公式，再變換，再作(zuò)圖；
第四步：觀察與計(jì)算(suàn)；查看(kàn)第三步中作(zuò)的§Ω (de)圖。
①找出哪一(yī)個(gè)圖的(de)10個(gè)點看(kàn)起來(lái)最有(yǒu)&•↔線性關系，并選定“最直”的(de)那(nà)一(yī)圖；
②将“最直”的(de)那(nà)個(gè)圖用(yòng)直線拟合，找出直線的 Ω×(de)斜率k、截距b；
③若是(shì)正态圖最直，則MTBF＝1/k∞≠；若是(shì)威布爾圖最直，則由k,b計(jì)算(suàn)出m,n，MTBF×≥> ＝m*Γ(1+1/n);
說(shuō)明(míng)：1、此種方法可(kě)以較準确地(dì)計(jì)算(¥suàn)出産品在常溫下(xià)的(de)MTBF。
2、若常溫下(xià)産品MTBF很(hěn)★∑ ∞長(cháng)，也(yě)可(kě)以用(yòn✘$&♦g)這(zhè)種方法先計(jì)算(suàn)85℃、105℃等高(gāo)溫$¶&下(xià)的(de)MTBF，再通(tōng)過計(jì)算(suàn)激活能(néng)後Ω✔計(jì)算(suàn)出常溫下(xià)産品的₩₽(de)MTBF
